Erläuterungen zur Bestimmung des Erdumfangs durch Eratosthenes

Schulmathematik/
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Informationen zu Eratosthenes, Erklärung seines Verfahrens zur Bestimmung des Erdumfangs.

a)	Informationen über Eratosthenes
b)	Die Erde kann nicht die Form einer Scheibe haben. Vieles deutete darauf hin, dass die Erde die Form einer Kugel hat.
c)	Wie berechnete Eratosthenes wahrscheinlich den Erdumfang?

a) Informationen über Eratosthenes Eratosthenes wurde um 276 v. Chr. in Kyrene (heute Schahhad, Libyen) geboren. Er starb ca. 195 v. Chr. in Alexandria (Alexandria wird in der rechten der beiden Karten mit 'A' bezeichnet.). Eratosthenes war Schüler des Kallimachos, ein Freund des Archimedes und selbst einer der größten Wissenschaftler seiner Zeit. Unter anderem beschäftigte er sich mit Geographie, Astronomie und Mathematik. Er entwarf eine Erdkarte mit Hilfe eines Koordinatennetzes von Parallelkreisen und Meridianen, stellte einen Sternenkatalog mit 675 Sternen auf und erfand ein Verfahren zum Auffinden von Primzahlen: das 'Sieb des Eratosthenes'. Zudem wird Eratosthenes als Begründer der Chronologie und der wissenschaftlichen Geographie angesehen. Und er leitete die berühmte Bibliothek von Alexandria.¹⁾ ^{1) Meyers großes Taschenlexikon, Großes Lexikon der Astronomie von Joachim Herrmann (Mosaik-Verlag)}

Die rechte Karte entspricht etwa dem rot markierten Ausschnitt in der linken Karte. Mit 'A' wird in der rechten Karte die Stadt Alexandria, mit 'S' die Stadt Syene (heute Assuan) bezeichnet.
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b)
Die Erde kann nicht die Form einer Scheibe haben.
Vieles deutete darauf hin, dass die Erde die Form einer Kugel hat.

Eratosthenes war nicht der erste, der auf die Idee kam, die Erde habe nicht die Form einer Scheibe sondern die einer Kugel.
(Siehe dazu u. a.:
http://de.wikipedia.org/wiki/Flache_Erde,
http://www.kurtbangert.de/_downloads/allgemein/2_7_Unsere_Erde-Scheibe_oder_Kugel.pdf?mysid=swxctnnta)
Aber ihm wird zugeschrieben, eine besondere Begründung dafür gefunden zu haben, dass die Erde keine Scheibe sein kann. Er wendete mathematische Kenntnisse an. Winkelgrößen, Regeln zum Größenvergleich von Winkeln und der Begriff Parallelität spielten eine Rolle in seinen Überlegungen.
Über die Größen, die Eratosthenes verwendet haben soll, findet man (leicht) unterschiedliche Angaben. Übereinstimmung gibt es wohl darüber, dass er von diesen Beobachtungen ausging:

      An einem 21. Juni konnte man in Syene (heute Assuan) zur Mittagszeit das Spiegelbild der Sonne in einem tiefen Brunnen sehen.    (B1)
      Also würden Sonnenstrahlen in Syene zu diesem Zeitpunkt senkrecht auf die Erde treffen.

      In Alexandria ('fast' auf demselben Längengrad wie Syene, Unterschied ca. 3°) dagegen warf zur selben Zeit ein Obelisk einen deutlichen Schatten.    (B2)
      Also treffen Sonnenstrahlen zu diesem Zeitpunkt in Alexandria nicht senkrecht auf die Erde.

(Siehe dazu auch unter
http://kurtbangert.de/_downloads/allgemein/2_7_Von_der_flachen_Erde_bis_zum_Urknall.pdf?mysid=1rfcva9efdcmpdl49uhfq7djsgpd4ac8)

Geht man von einer scheibenförmigen Erde aus, so ergibt sich aus B1 und B2 eine Situation wie in der folgenden Skizze 1.
Dabei sollen s1 und s2 Sonnenstrahlen sein. Bei S (Syene) ist der Brunnen dargestellt und bei A (Alexandria) der Obelisk.

Die erwähnten Beobachtungen (B1 und B2) und die Annahme, die Erde sei eine Scheibe, führen also zu der Situation in Skizze 1. Diese steht aber im Widerspruch zu der damals bekannten Tatsache, dass Sonnenstrahlen nahezu parallel auf die Erde treffen.² Die einzige nicht-sichere Voraussetzung in diesem Zusammenhang war die Annahme, die Erde habe die Form einer Scheibe. Diese Annahme führte also zu einem Widerspruch und musste deshalb falsch sein. ² Dass Sonnenstrahlen fast parallel auf die Erde treffen (auch dann, wenn sie von weit voneinander entfernten Teilen der Sonne ausgehen) liegt an der großen Entfernung der Erde von der Sonne. Mit geeigneten CAD-Programmen lässt sich dies eindrucksvoll veranschaulichen.
Geht man dagegen davon aus, dass die Erde die Form einer Kugel hat, so stellt sich die Situation nach den erwähnten Beobachtungen B1 und B2 wie in Skizze 2 dar.
Skizze 2
Bei der Annahme, die Erde sei eine Kugel, ergibt sich kein Widerspruch zwischen den Beobachtungen B1 und B2 und der (fast-) Parallelität der Sonnenstrahlen.
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c) Wie berechnete Eratosthenes wahrscheinlich den Erdumfang? Zum Verständnis des dem Eratosthenes zugeschriebenen Gedankenganges zur Berechnung des Erdumfangs ergänzen wir die letzte Skizze: (Hier können Sie diese Skizze drucken.)
Skizze 3
Im Folgenden wird ein Weg zur Berechnung des Erdumfangs mit den Voraussetzungen, die Eratosthenes wahrscheinlich hatte (s. o.!), beschrieben. Die dazu verwendeten Begriffe und Ausdrucksweisen entsprechen den heute üblichen. Kennt man die Größe des Mittelpunktswinkel Beta, so kann man berechnen, wie oft die Länge des Weges von Syene (S) nach Alexandria (A) in den Erdumfang passt (Unter der Voraussetzung, dass die Erde eine ideale Kugel ist). Zur Berechnung des Erdumfangs waren also zwei Größen zu bestimmen: Die Größe Beta und die Länge des Weges von Syene nach Alexandria. Zur Berechnung der Größe Beta: Wir gehen davon aus, dass die in Skizze 3 dargestellten Sonnenstrahlen s2 und s3 parallel sind (s. o!). Also sind Beta und Alpha Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen und damit gleich groß. Nach einigen Quellen soll Eratosthenes von Alpha = 7,2° ausgegangen sein, nach anderen Quellen von Alpha = 7,5°. Ich gehe hier von Alpha = 7.2° aus. Also musste Beta = 7,2° sein. Damit passte Beta genau 50-mal in einen 360°-Winkel hinein. Der Erdumfang war demnach das 50-fache der Länge des Weges von Syene nach Alexandria. Also hatte man Erdumfang = Länge des Weges von Syene nach Alexandria * 50. Eratosthenes soll davon ausgegangen sein, dass der Weg von Syene nach Alexandria 5000 Stadien lang war. Also kam er auf einen Erdumfang von 5000 Stadien * 50 = 250 000 Stadien. Die Länge eines Stadions wurde - je nach Region - unterschiedlich angegeben. Hier wird von 1 Stadion = 157,5 m ausgegangen (s. http://de.wikipedia.org/wiki/Eratosthenes). Danach erhält man Erdumfang = 5000 Stadien * 50 = 250 000 Stadien = 250 000 * 157,5 m = 39 375 000 m = 39 375 km. Die Berechnung des Erdumfangs durch Eratosthenes hing von einigen Größen ab, die damals nicht so genau wie heute zu bestimmen waren. Siehe dazu unter http://www.gereon.de/projekte/eratosthenes/eratosthenes.html Der Gedankengang zur Bestimmung des Erdumfangs, der Eratosthenes zugeschrieben wird, ist wohl eine der schönsten Anwendungen der heutigen Mittelstufen-Mathematik. Interessantes zu 'Gestalt der Erde' und/ oder Eratosthenes und der ihm zugeschriebenen Berechnung des Erdumfangs findet man u. a. auf diesen Seiten: http://kurtbangert.de/_downloads/allgemein/2_7_Von_der_flachen_Erde_bis_zum_Urknall.pdf?mysid=1rfcva9efdcmpdl49uhfq7djsgpd4ac8 ('Von der flachen Erde bis zum Urknall: die Entwicklung unseres Weltbildes' von Kurt Bangert) http://www.gereon.de/projekte/eratosthenes/eratosthenes.html http://www.kurtbangert.de/_downloads/allgemein/2_7_Unsere_Erde-Scheibe_oder_Kugel.pdf?mysid=ri2tukqd9iajircgeo1qtd55i38jl8nk http://www.cgg-online.de/wissenschaft/WissenschaftBibel/KugelgestaltErde.htm (zur Form der Erde) http://de.wikipedia.org/wiki/Flache_Erde http://www.pimath.de/geo/geo1.html http://m.schuelerlexikon.de/phy_abi2011/Die_Kugelgestalt_der_Erde.htm http://www.faz.net/aktuell/wissen/erde/erde-die-gestalt-der-erde-ist-einzigartig-1162001.html
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