Erläuterungen und Aufgaben-Beispiele zur Bestimmung des Erdumfangs durch Eratosthenes

a)	Wer war Eratosthenes?
b)	Wie kam Eratosthenes darauf, dass die Erde nicht die Form einer Scheibe haben kann?
c)	Wie berechnete Eratosthenes den Erdumfang?

Die Beiträge zu den folgenden Überschriften werden bald nachgeliefert.
d)	Berechnung des Erdumfangs nach Eratosthenes, wenn die Sonne nicht im Zenit eines Ortes steht, der an der Berechnung beteiligt ist.
e)	Astronomische Grundlagen zu den durchgeführten Berechnungen
f)	Weitere mathematische Aufgabenstellungen
g)	Wie können wir das Verfahren des Eratosthenes zur Bestimmung des Erdumfangs mit einfachen Mitteln durchführen?

Wer war Eratosthenes? Eratosthenes wurde um 276 v. Chr. in Kyrene (heute Schahhad, Libyen) geboren. Er starb ca. 195 v. Chr. in Alexandria (Alexandria wird in der rechten der beiden Karten mit 'A' bezeichnet.). Eratosthenes war Schüler des Kallimachos, ein Freund des Archimedes und selbst einer der größten Wissenschaftler seiner Zeit. Unter anderem beschäftigte er sich mit Geographie, Astronomie und Mathematik. Er entwarf eine Erdkarte mit Hilfe eines Koordinatennetzes von Parallelkreisen und Meridianen, stellte einen Sternenkatalog mit 675 Sternen auf und erfand ein Verfahren zum Auffinden von Primzahlen: das 'Sieb des Eratosthenes'. Zudem wird Eratosthenes als Begründer der Chrononologie und der wissenschaftlichen Geographie angesehen. Und er leitete die berühmte Bibliothek von Alexandria^{1) Meyers großes Taschenlexikon, Großes Lexikon der Astronomie von Joachim Herrmann (Mosaik-Verlag)}.

Die rechte Karte entspricht etwa dem rot markierten Ausschnitt in der linken Karte. Mit 'A' wird in der rechten Karte die Stadt Alexandria, mit 'S' die Stadt Syene (heute Assuan) bezeichnet.
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Das Resultat seiner Überlegungen (s. Skizze!) widersprach aber seiner Kenntnis, dass die Sonnenstrahlen nahezu parallel auf die Erde treffen. Die einzige nicht-sichere Voraussetzung, die Eratosthenes in seine Skizze einbrachte, war die Scheibenform der Erde. Er ließ diese Voraussetzung fallen und ging von einer runden, ja kugelförmigen Erde aus. Das führte ihn zu der folgenden Skizze:
	Eratosthenes erkannte, dass die Annahme, die Erde sei kugelförmig, mit seinen Beobachtungen in Alexandria und Syene und auch mit seiner Kenntnis von der 'Parallelität' der Sonnenstrahlen vereinbar war.
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Wie berechnete Eratosthenes den Erdumfang? Natürlich reizte es den Mathematiker Eratosthenes die Größe der Erdkugel, also den Erdumfang, zu bestimmen. Zum Verständnis seines Gedankenganges ergänzen wir die letzte Skizze: (Zu einer DIN-A4-Vorlage dieser Skizze gelangen Sie, wenn Sie diese Seite schließen!)

Keine der mir vorliegenden Quellen zeigt, ob Eratosthenes den Winkel Gamma nach einer Messung der Schattenlänge der Säule berechnet oder ob er den Winkel Alpha gemessen hat. Jedenfalls wusste er, dass der Mittelpunktswinkel Beta die gleiche Größe wie Gamma (Gamma und Beta sind Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen, den Sonnenstrahlen) bzw. Alpha (Alpha und Beta sind Stufenwinkel an geschnittenenen Parallelen, den Sonnenstrahlen) haben musste. Eratosthenes bestimmte also Alpha (oder Gamma) mit ca. 1/ 50 eines Vollwinkels. Beta musste deshalb ebenfalls 1/ 50 von 360° ausmachen. Also musste die Länge der 'Strecke' AS von Alexandria nach Syene ca. 50-mal in den gesuchten Erdumfang hineinpassen. Zur ungefähren Bestimmung des Erdumfangs fehlte Eratosthenes also nur noch diese Entfernung von Alexandria nach Syene. Man liest, Eratosthenes solle einen Freund gebeten haben, diese Entfernung zu bestimmen. Die Messung ergab, dass Syene 5 000 Stadien (1 Stadion entsprach 157,5 m) von Alexandria entfernt war. Der Erdumfang musste also nach Eratosthenes 50 * 5 000 Stadien = 250 000 Stadien bzw. 50 * (5000 * 157,5 m) = 39 375 000 m = 39 375 km lang sein.
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